小学奥数各年级经典题解题技巧大全—最值规律(3)

作者:海卫教育 / 公众号:highwayedu 发布时间:2019-04-16


黄冈数学·海卫教育:www.highwayedu.com体积变化规律
在表面积一定的正多面体(各面为正n边形,各面角和各二面角相等的多面体)中,面数越多,体积越大。
例如,表面积为8平方厘米的正四面体S—ABC(如图1.30),它每一个面均为正三角形,每个三角形面积为2平方厘米,它的体积约是1.1697立方厘米。而表面积为8平方厘米
长约为1.1546厘米,体积约为1.539立方厘米。显然,正方体体积大于正四面体体积。
推论:由这一体积变化规律,可推出如下结论:
在表面积相等的所有封闭体中,以球的体积为最大。
例如,表面积为8平方厘米的正四面体,体积约为1.1697立方米;表面积为8平方厘米的正六面体(正方体),体积约为1.539立方厘米;而表面积是8平方厘米的球,体积却约有2.128立方厘米。可见上面的结论是正确的。排序不等式
对于两个有序数组:
a1≤a2≤…≤an及b1≤b2≤…≤bn,
则a1b1+a2b2+……+anb抇n(同序)
T≥a1b抇1+a2b抇2+……+anb抇n(乱序)≥a1b
n+a2bn-1+……+a>nb1(倒序)(其中b抇1、b抇2、……、b抇n
为b1、b2、……、bn的任意一种排列(顺序、倒序排列在外),当且仅当a1=a2=…=an,或b1=b2=…=bn时,式中等号成立。)由这一不等式可知,同序积之和为最大,倒序积之和为最小。
例题:设有10个人各拿一只水桶,同时到一个水龙头下接水。水龙头注满第一、第二、……九、十个人的桶,分别需要1、2、3、……、9、10分钟。问:如何安排这10个人的排队顺序,可使每个人所费时间的总和尽可能少?这个总费时至少是多少分钟?
解:设每人水桶注满时间的一个有序数组为:1,2,3,……,9,10。
打水时,等候的人数为第二个有序数组,等候时间最长的人数排前,这样组成
1,2,3,……,9,10。
根据排序不等式,最小积的和为倒序,即
1×10+2×9+3×8+4×7+5×6+6×5+7×4+8×3+9×2+10×1
=(1×10+2×9+3×8+4×7+5×6)×2
=(10+18+24+28+30)×2
=220(分钟)
其排队顺序应为:根据注满一桶水所需时间的多少,按从少到多的排法。点击阅读原文进行报名

关注海卫教育微信公众号,获取更多图文精彩内容


其他栏目